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{{Appunti
| tipo = Appunti di lezione universitaria
| titolo = L'equazione di Slutsky
| univ = UniBo
| livello = Triennale
| laurea = Informatica_per_il_Management
| insegnamento = Microeconomia Prof Bacchiega
| fonti =
* slide del docente
* appunti presi in classe
| allegati =
| cat = UniBo/Triennale/Informatica_per_il_Management/Microeconomia_Prof_Bacchiega
| sortkey = 08 }}

= Capitolo 8 – L’equazione di Slutsky =

Dopo aver studiato come la domanda del consumatore varia al modificarsi del reddito, analizziamo ora come cambia al variare del '''prezzo di un bene'''.
L’obiettivo dell’equazione di Slutsky è separare gli effetti complessivi di una variazione di prezzo in due componenti distinte:
* un '''effetto sostituzione''', dovuto al cambiamento dei prezzi relativi tra i beni;
* un '''effetto reddito''', dovuto alla variazione del potere d’acquisto del consumatore.

Questa distinzione è fondamentale per comprendere il comportamento del consumatore e, in particolare, per spiegare perché nella maggior parte dei casi la domanda di un bene diminuisce al crescere del suo prezzo, ma in alcuni casi (beni di Giffen) può aumentare.

== 1. L’effetto complessivo di una variazione di prezzo ==

Consideriamo due beni, con prezzi <math>p_1</math> e <math>p_2</math>, e un reddito <math>m</math>.
Il consumatore sceglie il paniere ottimo <math>(x_1, x_2)</math>.

Supponiamo che il prezzo del bene 1 diminuisca, da <math>p_1</math> a <math>p'_1</math>, mantenendo costanti <math>p_2</math> e <math>m</math>.
Il nuovo paniere scelto sarà <math>(x'_1, x'_2)</math>.

La variazione complessiva della domanda del bene 1 è:
<math>\Delta x_1 = x_1(p'_1, m) - x_1(p_1, m)</math>

Questa variazione può essere scomposta in due parti:
<math>\Delta x_1 = \Delta x_1^S + \Delta x_1^n</math>

dove:
* <math>\Delta x_1^S</math> è l’'''effetto di sostituzione''';
* <math>\Delta x_1^n</math> è l’'''effetto di reddito'''.

== 2. Effetto di sostituzione ==

L’effetto di sostituzione misura come varia la quantità domandata del bene 1 a seguito di una variazione del suo prezzo, mantenendo costante il potere d’acquisto del consumatore.
In altre parole, il consumatore è “compensato” con una variazione del reddito che gli consenta di acquistare lo stesso paniere di prima ai nuovi prezzi.

Formalmente, se il reddito originario è:
<math>m = p_1 x_1 + p_2 x_2</math>
e il nuovo reddito compensato è:
<math>m' = p'_1 x_1 + p_2 x_2</math>
la variazione del reddito è:
<math>\Delta m = m' - m = x_1 (p'_1 - p_1)</math>

La variazione nella domanda del bene 1 dovuta solo all’effetto sostituzione sarà:
<math>\Delta x_1^S = x_1(p'_1, m') - x_1(p_1, m)</math>

Durante questo passaggio, cambiano i prezzi ma il potere d’acquisto resta costante.
L’effetto sostituzione è sempre '''negativo''' rispetto al prezzo: quando il prezzo di un bene aumenta, la quantità domandata diminuisce, a parità di potere d’acquisto.

== 3. Effetto di reddito ==

L’effetto reddito misura la variazione della domanda del bene dovuta al cambiamento del reddito reale, mantenendo costanti i prezzi.
In termini formali:
<math>\Delta x_1^n = x_1(p'_1, m) - x_1(p'_1, m')</math>

* Se il bene è '''normale''', l’effetto reddito è '''positivo''': una riduzione del prezzo (che aumenta il reddito reale) comporta un aumento della quantità domandata.
* Se il bene è '''inferiore''', l’effetto reddito è '''negativo''': il consumatore, diventando più “ricco”, riduce la domanda di quel bene.

== 4. Identità di Slutsky ==

Combinando i due effetti, otteniamo l’'''identità di Slutsky''':

<math>
x_1(p'_1, m) - x_1(p_1, m) =
\underbrace{[x_1(p'_1, m') - x_1(p_1, m)]}_{\text{Effetto sostituzione}} +
\underbrace{[x_1(p'_1, m) - x_1(p'_1, m')]}_{\text{Effetto reddito}}
</math>

In sintesi:
<math>\Delta x_1 = \Delta x_1^S + \Delta x_1^n</math>

Il segno dell’effetto sostituzione è sempre negativo (la quantità domandata diminuisce se il prezzo aumenta).
Il segno dell’effetto reddito, invece, può essere positivo o negativo, a seconda della natura del bene.

== 5. Interpretazione economica ==

* Per i '''beni normali''', entrambi gli effetti agiscono nella stessa direzione → la quantità domandata diminuisce all’aumentare del prezzo.
* Per i '''beni inferiori''', l’effetto reddito è opposto a quello di sostituzione.
- Se l’effetto reddito è minore in valore assoluto → il bene rimane '''ordinario''' (la domanda decresce con il prezzo).
- Se l’effetto reddito è maggiore dell’effetto sostituzione → si ha un '''bene di Giffen''', in cui la domanda cresce con il prezzo.

== 6. La forma differenziale dell’equazione di Slutsky ==

L’equazione di Slutsky può essere espressa in forma differenziale per mostrare la relazione tra le derivate parziali della funzione di domanda rispetto a prezzo e reddito:

<math>
\frac{\partial x_1(p_1, p_2, m)}{\partial p_1} =
\frac{\partial x_1^S(p_1, p_2, \bar{x}_1, \bar{x}_2)}{\partial p_1}
- \frac{\partial x_1(p_1, p_2, m)}{\partial m} \, x_1
</math>

dove:
* il primo termine rappresenta l’effetto di sostituzione;
* il secondo termine, con segno negativo, rappresenta l’effetto reddito.

Questa formulazione mostra che, se la domanda di un bene aumenta all’aumentare del reddito (<math>\frac{\partial x_1}{\partial m} > 0</math>), allora la domanda deve diminuire al crescere del suo prezzo.
È la formalizzazione della '''legge della domanda'''.

== 7. Tipologie di preferenze e effetti ==

L’intensità dei due effetti dipende dal tipo di preferenze del consumatore:

* '''Perfetti complementi''': non c’è effetto di sostituzione, poiché i beni sono consumati in proporzioni fisse.
* '''Perfetti sostituti''': non c’è effetto reddito, poiché la scelta dipende solo dal confronto tra i prezzi.
* '''Preferenze quasi lineari''': l’effetto reddito è nullo; la variazione di prezzo produce solo effetto sostituzione.

== 8. Interpretazione grafica ==

Graficamente, quando il prezzo di un bene cambia:
* la '''rotazione''' della retta di bilancio rappresenta l’effetto sostituzione (cambiamento dei prezzi relativi);
* lo '''spostamento''' parallelo della retta rappresenta l’effetto reddito (variazione del potere d’acquisto).

L’effetto totale è la somma di questi due movimenti.

== 9. Domanda compensata e domanda non compensata ==

Possiamo distinguere tre funzioni di domanda:
* la '''domanda ordinaria''' (o marshalliana), che descrive la quantità domandata in funzione di prezzi e reddito;
* la '''domanda compensata di Slutsky''', che considera variazioni di prezzo a potere d’acquisto costante;
* la '''domanda compensata di Hicks''', che considera variazioni di prezzo a utilità costante.

Per variazioni infinitesime di prezzo, gli effetti di Slutsky e Hicks coincidono.
Entrambe le curve di domanda compensata sono '''inclinante negativamente''', poiché l’effetto sostituzione è sempre negativo.

== 10. Applicazioni: tassazione e sovvenzioni ==

L’equazione di Slutsky consente di valutare l’impatto di imposte o sussidi sui consumatori.

Esempio: una tassa sulla benzina aumenta il prezzo del carburante.
L’effetto sostituzione riduce il consumo di benzina, ma il governo può restituire ai consumatori un trasferimento pari al gettito della tassa.
Anche in questo caso, i consumatori risulteranno meno soddisfatti rispetto alla situazione iniziale, perché la variazione dei prezzi relativi li porta a un paniere meno preferito.

== Sintesi ==

L’equazione di Slutsky fornisce un quadro completo per analizzare come una variazione di prezzo influenzi le scelte del consumatore.
Essa mostra che l’effetto totale può essere scomposto in:
* un '''effetto sostituzione''', sempre negativo e legato ai prezzi relativi;
* un '''effetto reddito''', che dipende dal tipo di bene.

Questa decomposizione rappresenta una delle relazioni fondamentali della microeconomia, perché collega le osservazioni empiriche sul comportamento della domanda con la teoria dell’utilità e del benessere del consumatore.

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