UniBo/Triennale/Informatica per il Management/Microeconomia Prof Bacchiega/Utilità - Cronologia

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	== Capitolo 4 – Utilità ==		= Capitolo 4 – Utilità =

	~~Storicamente, il~~ concetto di utilità ~~nasce nell’epoca vittoriana~~, ~~quando veniva inteso~~ come misura ~~diretta~~ del benessere individuale. Oggi ~~invece in microeconomia si usa in un senso~~ più ~~tecnico~~: l’utilità è un ~~modo~~ per ~~rappresentare le preferenze del~~ consumatore.		Il concetto di '''utilità''' rappresenta il modo in cui gli economisti descrivono le preferenze dei consumatori.
			Storicamente, nell’Ottocento, l’utilità era intesa come una misura numerica del benessere individuale: il piacere o la soddisfazione derivante dal consumo di un bene. Oggi l’interpretazione è più sobria: l’utilità non è un’entità psicologica misurabile in senso assoluto, ma un '''indice che ordina i panieri di consumo secondo la desiderabilità per il consumatore'''.

	~~Una '''funzione~~ di utilità~~''' è una regola che associa a ogni paniere di consumo un numero, in modo che ai panieri preferiti siano associati valori più alti. Formalmente:~~		== Funzione di utilità ==

	<math>X \succeq Y \~~;\;~~\Leftrightarrow\~~;\;~~ u(X) \geq u(Y)</math>		Formalmente, una '''funzione di utilità''' è una regola che assegna un numero a ciascun paniere, in modo che ai panieri preferiti corrispondano valori più alti:
			<math>X \succeq Y \quad \Leftrightarrow \quad u(X) \geq u(Y)</math>

	~~Questo significa che ciò che conta non~~ è ~~il valore assoluto dell’utilità, ma l’ordine che essa induce tra i panieri. Per questo si parla di~~ '''~~utilità~~ ordinale'''.		L’utilità è quindi un concetto '''ordinale''', non cardinale: interessa solo l’ordine dei panieri, non l’intensità della preferenza. Ad esempio, se un paniere ha utilità 10 e un altro 5, non significa che il primo dia “il doppio di soddisfazione”, ma semplicemente che è preferito al secondo.

	~~Le funzioni di utilità non sono uniche: qualunque~~ trasformazione monotona crescente ~~<math>f(u(X))</math>~~ rappresenta le stesse preferenze ~~di <math>u(X)</math>. Quello che conta è solo~~ l’ordinamento~~, non il numero in sé~~.		Qualsiasi '''trasformazione monotona crescente''' della funzione di utilità rappresenta le stesse preferenze, perché conserva l’ordinamento dei panieri.

	~~Graficamente, una~~ funzione di utilità ~~è coerente con le '''curve di indifferenza''': panieri che danno la stessa utilità appartengono alla stessa curva di livello.~~		== Costruzione della funzione di utilità ==

	~~=== Esempi di funzioni~~ di utilità ~~===~~		Una funzione di utilità può essere costruita prendendo come riferimento le curve di indifferenza: ad ogni curva corrisponde un certo livello di utilità. Panieri più lontani dall’origine, se le preferenze sono monotone, avranno livelli di utilità maggiori.
	* '''Beni perfetti sostituti''': <math>u(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2</math>. Le curve di indifferenza ~~sono rette con inclinazione costante <math>-a/b</math>.~~
	* '''Beni perfetti complementi''': ~~<math>u(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\}</math>. Le curve~~ di ~~indifferenza hanno la forma a “L”~~.
	* '''Preferenze quasi lineari''': <math>u(x_1, ~~x_2) = v(x_1) + x_2</math>. Le curve di indifferenza~~ sono ~~parallele tra loro.~~
	* '''Preferenze Cobb-Douglas''': <math>u(x_1, ~~x_2) = x_1^c x_2^d</math>. Le curve~~ di ~~indifferenza sono ben comportate (convessità e monotonicità)~~.

	~~Un esempio classico è~~ <math>u(x_1, x_2) = ~~\sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}~~</math>.		Esempi di funzioni di utilità:
			* '''Beni perfetti sostituti''':
			<math>u(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2</math>
			Le curve di indifferenza sono rette con inclinazione costante <math>-a/b</math>.

	~~=== Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione ===~~		* '''Beni perfetti complementi''':
	L’'''~~utilità marginale~~''' ~~di un bene è l’aumento di utilità derivante da un incremento infinitesimo del consumo di quel bene~~, ~~mantenendo costante l’altro:~~		<math>u(x_1, x_2) = \min \{ax_1, bx_2\}</math>
			Le curve hanno forma ad “L”.

	<math>~~MU_1 = \frac{\partial~~ u(x_1, x_2)~~}{\partial~~ x_1}</math>		* '''Preferenze quasi lineari''':
			<math>u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2</math>
			Le curve di indifferenza sono parallele tra loro.

	~~e analogamente per~~ <math>~~MU_2~~</math>.		* '''Preferenze Cobb-Douglas''':
			<math>u(x_1, x_2) = x_1^c \, x_2^d</math>
			Sono una delle forme più comuni, rappresentano preferenze regolari e producono curve convesso-monotone.

	~~Il legame con le curve di indifferenza emerge dal '''saggio~~ marginale ~~di sostituzione (MRS)''':~~		== Utilità marginale ==

	~~<math>MRS = - \frac{dx_2}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}</math>~~		Per analizzare in dettaglio le scelte, introduciamo il concetto di '''utilità marginale''': l’aumento di utilità che un individuo ottiene consumando una quantità infinitesima aggiuntiva di un bene, mantenendo costante il consumo degli altri.

	~~Questo~~ rapporto non ~~cambia~~ se ~~applichiamo~~ una trasformazione ~~monotona crescente alla funzione di utilità~~.		Formalmente:
			<math>MU_1 = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_1}, \quad
			MU_2 = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_2}</math>

			Queste misure permettono di collegare la funzione di utilità al concetto di '''saggio marginale di sostituzione (MRS)''', dato dal rapporto tra le utilità marginali:
			<math>MRS = - \frac{dx_2}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}</math>

			L’MRS indica quanta quantità del bene 2 il consumatore è disposto a cedere per ottenere un’unità in più del bene 1, mantenendo costante il livello di utilità.

			== Interpretazione economica ==

			L’uso delle funzioni di utilità ha due vantaggi fondamentali:
			# '''Formalizzazione''': permette di descrivere le preferenze con funzioni matematiche, rendendo più agevole lo studio dei comportamenti.
			# '''Generalità''': qualsiasi ordinamento coerente di preferenze può essere rappresentato da una funzione di utilità, anche se non osservabile direttamente.

			Le funzioni di utilità non sono uniche: molte diverse possono descrivere le stesse preferenze, purché mantengano lo stesso ordinamento. Per esempio, se una funzione Cobb-Douglas è <math>u(x_1, x_2) = x_1^{0,5} x_2^{0,5}</math>, allora anche la sua trasformazione logaritmica <math>v(x_1, x_2) = \ln(x_1^{0,5} x_2^{0,5})</math> rappresenta le stesse preferenze e produce lo stesso MRS.

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2025-10-01T15:35:57Z

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	<math>MRS = - \frac{dx_2}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}</math>		<math>MRS = - \frac{dx_2}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}</math>

	Questo rapporto non cambia se applichiamo una trasformazione monotona crescente alla funzione di utilità.		Questo rapporto non cambia se applichiamo una trasformazione monotona crescente alla funzione di utilità.

	~~---~~

	~~== Capitolo 5 – Scelta ==~~

	~~Una volta chiariti vincoli e preferenze, possiamo analizzare la '''scelta ottima''' del consumatore.~~

	Se le preferenze sono ben comportate (monotone e convesse), il consumatore sceglie il paniere sul vincolo di bilancio che massimizza la propria utilità. Graficamente, l’ottimo si trova nel punto di tangenza tra la retta di bilancio e una curva di indifferenza:

	~~<math>p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \quad \text{e} \quad MRS(x_1, x_2) = \frac{p_1}{p_2}</math>~~

	~~Queste due condizioni descrivono la soluzione ottimale valida per tutti i consumatori.~~

	~~=== Risoluzione matematica ===~~
	~~Due metodi principali:~~

	~~# '''Sostituzione''': si isola <math>x_2</math> dal vincolo di bilancio e lo si sostituisce dentro la funzione di utilità. Il problema diventa un massimo vincolato su una sola variabile.~~
	~~# '''Moltiplicatori di Lagrange''': si costruisce~~

	~~<math>L = u(x_1, x_2) - \lambda (p_1 x_1 + p_2 x_2 - m)</math>~~

	~~e si derivano le condizioni del primo ordine:~~

	~~<math>\frac{\partial L}{\partial x_1} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial x_2} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0</math>~~

	~~che portano a <math>MRS = \frac{p_1}{p_2}</math> e al vincolo di bilancio.~~

	~~=== Esempio: Cobb-Douglas ===~~
	~~Per <math>u(x_1, x_2) = x_1^c x_2^d</math>, la soluzione è:~~

	~~<math>x_1 = \frac{c}{c+d} \cdot \frac{m}{p_1}, \quad x_2 = \frac{d}{c+d} \cdot \frac{m}{p_2}</math>~~

	~~cioè il reddito viene speso in proporzione ai parametri della funzione di utilità.~~

	~~=== Eccezioni ===~~
	~~Non sempre l’ottimo è un punto di tangenza:~~
	* '''Preferenze ad angolo''' (beni perfetti complementi).
	* '''Ottimo di frontiera''' (tutto il reddito speso in un solo bene).
	* '''Preferenze non convesse''' (più soluzioni possibili).

	~~=== Effetti delle tasse ===~~
	Confrontando una tassa sul reddito con una tassa sulla quantità di un bene, a parità di gettito la tassa sul reddito è '''preferibile''' per il consumatore, perché lascia più possibilità di scelta (la retta di bilancio trasla invece di ruotare). Tuttavia, se ci sono più consumatori, l’analisi diventa più complessa.

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== Capitolo 4 – Utilità ==

Storicamente, il concetto di utilità nasce nell’epoca vittoriana, quando veniva inteso come misura diretta del benessere individuale. Oggi invece in microeconomia si usa in un senso più tecnico: l’utilità è un modo per rappresentare le preferenze del consumatore.

Una '''funzione di utilità''' è una regola che associa a ogni paniere di consumo un numero, in modo che ai panieri preferiti siano associati valori più alti. Formalmente:

<math>X \succeq Y \;\;\Leftrightarrow\;\; u(X) \geq u(Y)</math>

Questo significa che ciò che conta non è il valore assoluto dell’utilità, ma l’ordine che essa induce tra i panieri. Per questo si parla di '''utilità ordinale'''.

Le funzioni di utilità non sono uniche: qualunque trasformazione monotona crescente <math>f(u(X))</math> rappresenta le stesse preferenze di <math>u(X)</math>. Quello che conta è solo l’ordinamento, non il numero in sé.

Graficamente, una funzione di utilità è coerente con le '''curve di indifferenza''': panieri che danno la stessa utilità appartengono alla stessa curva di livello.

=== Esempi di funzioni di utilità ===
* '''Beni perfetti sostituti''': <math>u(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2</math>. Le curve di indifferenza sono rette con inclinazione costante <math>-a/b</math>.
* '''Beni perfetti complementi''': <math>u(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\}</math>. Le curve di indifferenza hanno la forma a “L”.
* '''Preferenze quasi lineari''': <math>u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2</math>. Le curve di indifferenza sono parallele tra loro.
* '''Preferenze Cobb-Douglas''': <math>u(x_1, x_2) = x_1^c x_2^d</math>. Le curve di indifferenza sono ben comportate (convessità e monotonicità).

Un esempio classico è <math>u(x_1, x_2) = \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}</math>.

=== Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione ===
L’'''utilità marginale''' di un bene è l’aumento di utilità derivante da un incremento infinitesimo del consumo di quel bene, mantenendo costante l’altro:

<math>MU_1 = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_1}</math>

e analogamente per <math>MU_2</math>.

Il legame con le curve di indifferenza emerge dal '''saggio marginale di sostituzione (MRS)''':

<math>MRS = - \frac{dx_2}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}</math>

Questo rapporto non cambia se applichiamo una trasformazione monotona crescente alla funzione di utilità.

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== Capitolo 5 – Scelta ==

Una volta chiariti vincoli e preferenze, possiamo analizzare la '''scelta ottima''' del consumatore.

Se le preferenze sono ben comportate (monotone e convesse), il consumatore sceglie il paniere sul vincolo di bilancio che massimizza la propria utilità. Graficamente, l’ottimo si trova nel punto di tangenza tra la retta di bilancio e una curva di indifferenza:

<math>p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \quad \text{e} \quad MRS(x_1, x_2) = \frac{p_1}{p_2}</math>

Queste due condizioni descrivono la soluzione ottimale valida per tutti i consumatori.

=== Risoluzione matematica ===
Due metodi principali:

# '''Sostituzione''': si isola <math>x_2</math> dal vincolo di bilancio e lo si sostituisce dentro la funzione di utilità. Il problema diventa un massimo vincolato su una sola variabile.
# '''Moltiplicatori di Lagrange''': si costruisce

<math>L = u(x_1, x_2) - \lambda (p_1 x_1 + p_2 x_2 - m)</math>

e si derivano le condizioni del primo ordine:

<math>\frac{\partial L}{\partial x_1} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial x_2} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0</math>

che portano a <math>MRS = \frac{p_1}{p_2}</math> e al vincolo di bilancio.

=== Esempio: Cobb-Douglas ===
Per <math>u(x_1, x_2) = x_1^c x_2^d</math>, la soluzione è:

<math>x_1 = \frac{c}{c+d} \cdot \frac{m}{p_1}, \quad x_2 = \frac{d}{c+d} \cdot \frac{m}{p_2}</math>

cioè il reddito viene speso in proporzione ai parametri della funzione di utilità.

=== Eccezioni ===
Non sempre l’ottimo è un punto di tangenza:
* '''Preferenze ad angolo''' (beni perfetti complementi).
* '''Ottimo di frontiera''' (tutto il reddito speso in un solo bene).
* '''Preferenze non convesse''' (più soluzioni possibili).

=== Effetti delle tasse ===
Confrontando una tassa sul reddito con una tassa sulla quantità di un bene, a parità di gettito la tassa sul reddito è '''preferibile''' per il consumatore, perché lascia più possibilità di scelta (la retta di bilancio trasla invece di ruotare). Tuttavia, se ci sono più consumatori, l’analisi diventa più complessa.

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