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Appunti di lezione universitaria
Utilità

Università = UniBo Livello = Triennale Laurea = Informatica_per_il_Management Insegnamento = Microeconomia Prof Bacchiega
Ultimo aggiornamento
06/10/2025 23:02
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Capitolo 4 – Utilità

Il concetto di utilità rappresenta il modo in cui gli economisti descrivono le preferenze dei consumatori. Storicamente, nell’Ottocento, l’utilità era intesa come una misura numerica del benessere individuale: il piacere o la soddisfazione derivante dal consumo di un bene. Oggi l’interpretazione è più sobria: l’utilità non è un’entità psicologica misurabile in senso assoluto, ma un indice che ordina i panieri di consumo secondo la desiderabilità per il consumatore.

Funzione di utilità

Formalmente, una funzione di utilità è una regola che assegna un numero a ciascun paniere, in modo che ai panieri preferiti corrispondano valori più alti: $X ⪰ Y \Leftrightarrow u (X) \geq u (Y)$

L’utilità è quindi un concetto ordinale, non cardinale: interessa solo l’ordine dei panieri, non l’intensità della preferenza. Ad esempio, se un paniere ha utilità 10 e un altro 5, non significa che il primo dia “il doppio di soddisfazione”, ma semplicemente che è preferito al secondo.

Qualsiasi trasformazione monotona crescente della funzione di utilità rappresenta le stesse preferenze, perché conserva l’ordinamento dei panieri.

Costruzione della funzione di utilità

Una funzione di utilità può essere costruita prendendo come riferimento le curve di indifferenza: ad ogni curva corrisponde un certo livello di utilità. Panieri più lontani dall’origine, se le preferenze sono monotone, avranno livelli di utilità maggiori.

Esempi di funzioni di utilità:

Beni perfetti sostituti:

$u (x_{1}, x_{2}) = a x_{1} + b x_{2}$ Le curve di indifferenza sono rette con inclinazione costante $- a / b$ .

Beni perfetti complementi:

$u (x_{1}, x_{2}) = \min {a x_{1}, b x_{2}}$ Le curve hanno forma ad “L”.

Preferenze quasi lineari:

$u (x_{1}, x_{2}) = v (x_{1}) + x_{2}$ Le curve di indifferenza sono parallele tra loro.

Preferenze Cobb-Douglas:

$u (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{c} x_{2}^{d}$ Sono una delle forme più comuni, rappresentano preferenze regolari e producono curve convesso-monotone.

Utilità marginale

Per analizzare in dettaglio le scelte, introduciamo il concetto di utilità marginale: l’aumento di utilità che un individuo ottiene consumando una quantità infinitesima aggiuntiva di un bene, mantenendo costante il consumo degli altri.

Formalmente: $M U_{1} = \frac{\partial u (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{1}}, M U_{2} = \frac{\partial u (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{2}}$

Queste misure permettono di collegare la funzione di utilità al concetto di saggio marginale di sostituzione (MRS), dato dal rapporto tra le utilità marginali: $M R S = - \frac{d x_{2}}{d x_{1}} = \frac{M U_{1}}{M U_{2}}$

L’MRS indica quanta quantità del bene 2 il consumatore è disposto a cedere per ottenere un’unità in più del bene 1, mantenendo costante il livello di utilità.

Interpretazione economica

L’uso delle funzioni di utilità ha due vantaggi fondamentali:

Formalizzazione: permette di descrivere le preferenze con funzioni matematiche, rendendo più agevole lo studio dei comportamenti.
Generalità: qualsiasi ordinamento coerente di preferenze può essere rappresentato da una funzione di utilità, anche se non osservabile direttamente.

Le funzioni di utilità non sono uniche: molte diverse possono descrivere le stesse preferenze, purché mantengano lo stesso ordinamento. Per esempio, se una funzione Cobb-Douglas è $u (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{0, 5} x_{2}^{0, 5}$ , allora anche la sua trasformazione logaritmica $v (x_{1}, x_{2}) = \ln (x_{1}^{0, 5} x_{2}^{0, 5})$ rappresenta le stesse preferenze e produce lo stesso MRS.

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-== Capitolo 4 – Utilità ==
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-Storicamente, il concetto di utilità nasce nell’epoca vittoriana, quando veniva inteso come misura diretta del benessere individuale. Oggi invece in microeconomia si usa in un senso più tecnico: l’utilità è un modo per rappresentare le preferenze del consumatore.
+Il concetto di '''utilità''' rappresenta il modo in cui gli economisti descrivono le preferenze dei consumatori.
+Storicamente, nell’Ottocento, l’utilità era intesa come una misura numerica del benessere individuale: il piacere o la soddisfazione derivante dal consumo di un bene. Oggi l’interpretazione è più sobria: l’utilità non è un’entità psicologica misurabile in senso assoluto, ma un '''indice che ordina i panieri di consumo secondo la desiderabilità per il consumatore'''.
-Una '''funzione di utilità''' è una regola che associa a ogni paniere di consumo un numero, in modo che ai panieri preferiti siano associati valori più alti. Formalmente:
+== Funzione di utilità ==
-<math>X \succeq Y \;\;\Leftrightarrow\;\; u(X) \geq u(Y)</math>
+Formalmente, una '''funzione di utilità''' è una regola che assegna un numero a ciascun paniere, in modo che ai panieri preferiti corrispondano valori più alti:
+<math>X \succeq Y \quad \Leftrightarrow \quad u(X) \geq u(Y)</math>
-Questo significa che ciò che conta non è il valore assoluto dell’utilità, ma l’ordine che essa induce tra i panieri. Per questo si parla di '''utilità ordinale'''.
+L’utilità è quindi un concetto '''ordinale''', non cardinale: interessa solo l’ordine dei panieri, non l’intensità della preferenza. Ad esempio, se un paniere ha utilità 10 e un altro 5, non significa che il primo dia “il doppio di soddisfazione”, ma semplicemente che è preferito al secondo.
-Le funzioni di utilità non sono uniche: qualunque trasformazione monotona crescente <math>f(u(X))</math> rappresenta le stesse preferenze di <math>u(X)</math>. Quello che conta è solo l’ordinamento, non il numero in sé.
+Qualsiasi '''trasformazione monotona crescente''' della funzione di utilità rappresenta le stesse preferenze, perché conserva l’ordinamento dei panieri.
-Graficamente, una funzione di utilità è coerente con le '''curve di indifferenza''': panieri che danno la stessa utilità appartengono alla stessa curva di livello.
+== Costruzione della funzione di utilità ==
-=== Esempi di funzioni di utilità ===
+Una funzione di utilità può essere costruita prendendo come riferimento le curve di indifferenza: ad ogni curva corrisponde un certo livello di utilità. Panieri più lontani dall’origine, se le preferenze sono monotone, avranno livelli di utilità maggiori.
-* '''Beni perfetti sostituti''': <math>u(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2</math>. Le curve di indifferenza sono rette con inclinazione costante <math>-a/b</math>.
-* '''Beni perfetti complementi''': <math>u(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\}</math>. Le curve di indifferenza hanno la forma a “L”.
-* '''Preferenze quasi lineari''': <math>u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2</math>. Le curve di indifferenza sono parallele tra loro.
-* '''Preferenze Cobb-Douglas''': <math>u(x_1, x_2) = x_1^c x_2^d</math>. Le curve di indifferenza sono ben comportate (convessità e monotonicità).
-Un esempio classico è <math>u(x_1, x_2) = \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}</math>.
+Esempi di funzioni di utilità:
+* '''Beni perfetti sostituti''':
+<math>u(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2</math>
+Le curve di indifferenza sono rette con inclinazione costante <math>-a/b</math>.
-=== Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione ===
+* '''Beni perfetti complementi''':
-L’'''utilità marginale''' di un bene è l’aumento di utilità derivante da un incremento infinitesimo del consumo di quel bene, mantenendo costante l’altro:
+<math>u(x_1, x_2) = \min \{ax_1, bx_2\}</math>
+Le curve hanno forma ad “L”.
-<math>MU_1 = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_1}</math>
+* '''Preferenze quasi lineari''':
+<math>u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2</math>
+Le curve di indifferenza sono parallele tra loro.
-e analogamente per <math>MU_2</math>.
+* '''Preferenze Cobb-Douglas''':
+<math>u(x_1, x_2) = x_1^c \, x_2^d</math>
+Sono una delle forme più comuni, rappresentano preferenze regolari e producono curve convesso-monotone.
-Il legame con le curve di indifferenza emerge dal '''saggio marginale di sostituzione (MRS)''':
+== Utilità marginale ==
-<math>MRS = - \frac{dx_2}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}</math>
+Per analizzare in dettaglio le scelte, introduciamo il concetto di '''utilità marginale''': l’aumento di utilità che un individuo ottiene consumando una quantità infinitesima aggiuntiva di un bene, mantenendo costante il consumo degli altri.
-Questo rapporto non cambia se applichiamo una trasformazione monotona crescente alla funzione di utilità.
+Formalmente:
+<math>MU_1 = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_1}, \quad
+MU_2 = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_2}</math>
+Queste misure permettono di collegare la funzione di utilità al concetto di '''saggio marginale di sostituzione (MRS)''', dato dal rapporto tra le utilità marginali:
+<math>MRS = - \frac{dx_2}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}</math>
+L’MRS indica quanta quantità del bene 2 il consumatore è disposto a cedere per ottenere un’unità in più del bene 1, mantenendo costante il livello di utilità.
+== Interpretazione economica ==
+L’uso delle funzioni di utilità ha due vantaggi fondamentali:
+# '''Formalizzazione''': permette di descrivere le preferenze con funzioni matematiche, rendendo più agevole lo studio dei comportamenti.
+# '''Generalità''': qualsiasi ordinamento coerente di preferenze può essere rappresentato da una funzione di utilità, anche se non osservabile direttamente.
+Le funzioni di utilità non sono uniche: molte diverse possono descrivere le stesse preferenze, purché mantengano lo stesso ordinamento. Per esempio, se una funzione Cobb-Douglas è <math>u(x_1, x_2) = x_1^{0,5} x_2^{0,5}</math>, allora anche la sua trasformazione logaritmica <math>v(x_1, x_2) = \ln(x_1^{0,5} x_2^{0,5})</math> rappresenta le stesse preferenze e produce lo stesso MRS.
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