Utilità

Appunti di lezione universitaria

Utilità

Università = UniBo Livello = Triennale Laurea = Informatica_per_il_Management Insegnamento = Microeconomia Prof Bacchiega

Ultimo aggiornamento

01/10/2025 17:13

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slide del docente appunti presi in classe

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Capitolo 4 – Utilità

Storicamente, il concetto di utilità nasce nell’epoca vittoriana, quando veniva inteso come misura diretta del benessere individuale. Oggi invece in microeconomia si usa in un senso più tecnico: l’utilità è un modo per rappresentare le preferenze del consumatore.

Una funzione di utilità è una regola che associa a ogni paniere di consumo un numero, in modo che ai panieri preferiti siano associati valori più alti. Formalmente:

$X⪰Y\iff u(X)\ge u(Y)$

Questo significa che ciò che conta non è il valore assoluto dell’utilità, ma l’ordine che essa induce tra i panieri. Per questo si parla di utilità ordinale.

Le funzioni di utilità non sono uniche: qualunque trasformazione monotona crescente $f(u(X))$ rappresenta le stesse preferenze di $u(X)$. Quello che conta è solo l’ordinamento, non il numero in sé.

Graficamente, una funzione di utilità è coerente con le curve di indifferenza: panieri che danno la stessa utilità appartengono alla stessa curva di livello.

Esempi di funzioni di utilità

• Beni perfetti sostituti: $u(x_1,x_2)=a{x}_1+b{x}_2$. Le curve di indifferenza sono rette con inclinazione costante $-a/b$.
• Beni perfetti complementi: $u(x_1,x_2)=\min \{a{x}_1,b{x}_2\}$. Le curve di indifferenza hanno la forma a “L”.
• Preferenze quasi lineari: $u(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2$. Le curve di indifferenza sono parallele tra loro.
• Preferenze Cobb-Douglas: $u(x_1,x_2)=x_1^c{x}_2^d$. Le curve di indifferenza sono ben comportate (convessità e monotonicità).

Un esempio classico è $u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}\cdot \sqrt{x_2}$.

Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione

L’utilità marginale di un bene è l’aumento di utilità derivante da un incremento infinitesimo del consumo di quel bene, mantenendo costante l’altro:

$M{U}_1=\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1}$

e analogamente per $M{U}_2$.

Il legame con le curve di indifferenza emerge dal saggio marginale di sostituzione (MRS):

$MRS=-\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=\frac{M{U}_1}{M{U}_2}$

Questo rapporto non cambia se applichiamo una trasformazione monotona crescente alla funzione di utilità.

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Capitolo 5 – Scelta

Una volta chiariti vincoli e preferenze, possiamo analizzare la scelta ottima del consumatore.

Se le preferenze sono ben comportate (monotone e convesse), il consumatore sceglie il paniere sul vincolo di bilancio che massimizza la propria utilità. Graficamente, l’ottimo si trova nel punto di tangenza tra la retta di bilancio e una curva di indifferenza:

$p_1{x}_1+p_2{x}_2=m\text{e}MRS(x_1,x_2)=\frac{p_1}{p_2}$

Queste due condizioni descrivono la soluzione ottimale valida per tutti i consumatori.

Risoluzione matematica

Due metodi principali:

1. Sostituzione: si isola $x_2$ dal vincolo di bilancio e lo si sostituisce dentro la funzione di utilità. Il problema diventa un massimo vincolato su una sola variabile.
2. Moltiplicatori di Lagrange: si costruisce

$L=u(x_1,x_2)-\lambda (p_1{x}_1+p_2{x}_2-m)$

e si derivano le condizioni del primo ordine:

$\frac{\partial L}{\partial x_1}=0,\frac{\partial L}{\partial x_2}=0,\frac{\partial L}{\partial \lambda }=0$

che portano a $MRS=\frac{p_1}{p_2}$ e al vincolo di bilancio.

Esempio: Cobb-Douglas

Per $u(x_1,x_2)=x_1^c{x}_2^d$, la soluzione è:

$x_1=\frac{c}{c+d}\cdot \frac{m}{p_1},x_2=\frac{d}{c+d}\cdot \frac{m}{p_2}$

cioè il reddito viene speso in proporzione ai parametri della funzione di utilità.

Eccezioni

Non sempre l’ottimo è un punto di tangenza:

• Preferenze ad angolo (beni perfetti complementi).
• Ottimo di frontiera (tutto il reddito speso in un solo bene).
• Preferenze non convesse (più soluzioni possibili).

Effetti delle tasse

Confrontando una tassa sul reddito con una tassa sulla quantità di un bene, a parità di gettito la tassa sul reddito è preferibile per il consumatore, perché lascia più possibilità di scelta (la retta di bilancio trasla invece di ruotare). Tuttavia, se ci sono più consumatori, l’analisi diventa più complessa.

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